Az I/3. feladat megoldása:
Egy kézenfekvő állítás a következő:
3.a feladat:
Ha egy (véges) társaságban kölcsönösek az
ismeretségek, akkor van két ember, aki ugyanannyi embert nem ismer.
Az 1a feladat állításához képest csak annyi a különbség,
hogy itt az ismeretség helyett nem-ismeretség szerepel. De az állítás abban az
értelemben sem új, hogy ha találtunk két embert, akinek ugyanannyi ismerőse
van, akkor ezeknek ugyanannyi a „nem-ismerősük” is.
De képzeljük el, hogy a társaságban azok, akik még nem ismerik egymást, kezet
fognak bemutatkozásul. Ekkor egy „új” állítást kapunk, amit rögtön
általánosabban is kimondhatunk:
3.b feladat:
Egy társaságban némely emberek kezet fognak egymással. Ekkor biztosan van
kettő, aki ugyanannyi emberrel fogott kezet.
Az eddigi „átfogalmazások” mind nagyon hasonlítanak: emberekről és azoknak egymáshoz való viszonyáról szóltak.
De tekinthetjük a következő állítást is:
3.c feladat:
Egy ország különböző repülőterei közül
némelyeket közvetlen (oda-vissza) repülőjárat köt össze. Mutassuk meg, hogy van
két repülőtér, amelyről ugyanannyi járat indul.
Ez a feladat is ugyanaz, mint az előzők, csakhogy most az emberek szerepét városok játsszák, az „ismeretségek”, a „mérkőzések” illetve a „kézfogások” szerepét a városokat összekötő repülőjáratok veszik át.
Természetesen számtalan további átfogalmazás is található: például vehetjük egy város telefonállomásait és nézhetjük azt, hogy melyikről hány másikkal beszéltek egy adott napon. Ekkor is igaz, hogy biztosan van kettő, amelyről ugyannyi másikkal beszéltek.
A BIZONYÍTÁS természetesen most is, mint mindegyik másik esetben ugyanaz: ha n telefonállomás van, akkor mindegyikről 0 és n–1 között valahányat hívtak fel. De az nem lehet, hogy valamelyikről egyáltalán nem beszéltek (0-val beszéltek), egy másikról pedig minden másikkal beszéltek (n–1 másikkal beszéltek), tehát most is csak n–1 lehetőség van tehát, s a „skatulyaelv” alkalmazásával most is kijön, hogy van kettő, amelyikről ugyanannyi másik állomással beszéltek.
4. feladat:
Szükség van-e minden alkalommal külön
elmondani a bizonyítást? Mi a fontos közös minden átfogalmazásban? Próbáljuk
meg ábrázolni azt, ami minden megoldásban közös!