A PÁRHUZAMOSSÁG ELEMI TULAJDONSÁGAINAK BIZONYÍTÁSA
1. A párhuzamosság definíciója nem függ a felvett ponttól:
Először tegyük fel, hogy a Pf félegyenes tartalmazza az R pontot, és az f félegyenes az R pontból nézve nem párhuzamos e-vel, de a P pontból nézve igen. Tehát a g félegyenes nem metszi az e egyenest. Legyen g egy tetszőleges pontja G és kössük össze ezt P-vel. A P pontból húzott PG=h félegyenes metszi az e egyenest egy E pontban (mert P-ből nézve f párhuzamos e-vel). De akkor az (AV’’) axióma miatt g is metszi az EE’ szakaszt, tehát az e egyenest. (Az ábra mutatja, miért nem metszheti a PE’ oldalt: ha a PE’ oldalt metszené, akkor a PR félegyenessel bezárt szöge kisebb volna PRE’ szögnél, ami ellentmondás.)
Másodszor tegyük fel, hogy az f egyenes P-ből nézve nem párhuzamos e-vel, de a Pf félegyenes R pontjából nézve igen.
Legyen P-ből e-hez húzott párhuzamos h. Mivel f nem metszi e-t, Pf félegyenes h-nak e-vel ellentétes oldalán van. Így az R pont is. R-ből állítsunk merőleges félegyenest h-ra és erre a t merőlegesre állítsunk merőlegest R-ben. A kapott g egyenes nem metszi h-t (12.tétel). Tehát az egész g egyenes h-nak R-rel azonos oldalán van, s így e-vel ellentétes oldalán. Vagyis nem lehet közös pontja e-vel. De a PRg konvex szög f-nek e felőli oldalán van. (PRt hegyesszög és tRf derékszög.) Minthogy R-ből Rf az első e-t nem metsző (vele párhuzamos) félegyenes, ezért g-nek metszenie kell e-t. Ez az ellentmondás bizonyítja, hogy a Pf félegyenes P-ből is párhuzamos e-vel (P-ből is az első e-t nem-metsző félegyenes).
Tegyük fel, hogy az e félegyenes párhuzamos az f és a g félegyenessel. Be akarjuk látni, hogy f és g is párhuzamos. Először tegyük fel, hogy f és g az e egyenesnek különböző oldalán van. Ekkor nyilván nem metszhetik egymást (lásd a félsík definícióját). Legyen P az f félegyenes egy pontja és P’ a P pont merőleges vetülete az e egyenesen(!). Azt kell még belátnunk, hogy ha a h félegyenes a P’Pf szögtartományban halad, akkor metszi a g egyenest. Azt tudjuk, hogy e és f félegyenes párhuzamos, ezért h biztosan metszi e-t egy M pontban. Másrészt a PMP’ szög hegyesszög (mert P’-nél derékszög van). Ezért a h egyenesnek g félegyenest is metszenie kell (hiszen e párhuzamos vele), és éppen ezt akartuk belátni.
A másik eset az, amikor f és g az egyenes(sé kiegészített) e azonos oldalán van. Legyen E az e egyenes egy pontja. Forgassuk el az Ee félegyenest kissé f és g félsíkja felé úgy, hogy messe f-et és g-t. Ezt megtehetjük, mert mindkettővel párhuzamos. Legyenek a metszéspontok F és G. Minthogy F és G az e egyenes azonos oldalán van, az FG szakasz nem metszi e-t, tehát feltehető, hogy F van E és G között (lásd (AV) axióma). Bármilyen kis szöggel forgatjuk el a g egyenest G körül, metszeni fogja az e egyenest egy E’ pontban, mert e párhuzamos g-vel. Alkalmazzuk az (AV’’) axiómát az EGE’ háromszögre: az f egyenes metszi ennek EG oldalát és nem metszi az EE’ oldalát (mert e és f párhuzamos). Tehát metszi a GE’ oldalát. Vagyis: akármilyen kis szöggel forgatjuk el G körül a g egyenest e felé, metszeni fogja f-et. Másrészt belátjuk, hogy maga g nem metszheti f-et. Ebből következik, hogy f és g párhuzamos a megadott irányban.
A g egyenes azért nem metszheti f-et, mert ha metszené egy F pontban, akkor ebből az F pontból az e félegyenessel húzott párhuzamos egyrészt f lenne, másrészt g lenne, hiszen mindkettő párhuzamos az e félegyenessel. De ez csak úgy lehetne, ha f és g közül az egyik a másik meghosszabbítása lenne. Ezesetben viszont nincs mit bizonyítanunk.
