TÉTEL: Ha egy f függvény monoton az egész számegyenesen és minden valós x, y számpárra teljesül, hogy f(x+y)=f(x)+f(y), akkor f(x)=cx, ahol c egy konstans.

BIZONYÍTÁS: Az

f(x+y)=f(x)+f(y)

függvényegyenletből következik x=y=0 helyettesítéssel, hogy f(0)=0, x=–y helyettesítéssel, hogy f(x)=–f(–x).

Elég tehát pozitív x-ekre bizonyítani. Teljes indukcióval kapjuk, hogy minden pozitív egész n-re

f(x₁)+f(x₂)+…+f(x_n)=f(x₁+x₂+…+x_n).

Innen x_i=1 helyettesítéssel f(n)=f(1)n, x_i=1/n helyettesítéssel f(1/n)=f(1)/n és végül x_i=1/m helyettesítéssel f(n/m)=nf(1)/m. Ebből a monoton függvények folytonossági tulajdonságai alapján kapjuk, hogy f(x)=f(1)x minden pozitív valós x-re. Tehát c=f(1) helyettesítéssel igaz a tétel állítása.

VISSZA