A 8. feladat megoldása:

BIZONYÍTÁS:

a) Tekintsük az ABCD konvex négyszöget.

Legyen X a BD félegyenes D-n túli pontja, itt használjuk az (AV’) axiómát. A BCX háromszög BX oldalát metszi az AD egyenes (a D pontban), tehát metszi a háromszög egy másik oldalát. Ez nem lehet a BC oldal, mert az AD oldalegyenes és a BC oldalegyenes nem metszheti egymást olyan pontban, amely valamelyik oldalhoz tartozik (itt használjuk a konvexitást). Így az AD egyenes metszi a CX oldalt egy F pontban. Az AFC háromszög AF oldalát metszi a BD átló a belső D pontban. Tehát metszi még egy oldalát. Az FC oldalegyenest az X pontban metszi, amely kívül van az FC szakaszon. Tehát az AC oldalt metszi egy belső pontjában.

b) Legyen az ABCD konvex négyszögben AB=CD és BC=AD. Ekkor az ABC és CDA háromszögben a CA oldal közös, a másik két megfelelő oldal egyenlő, így e két háromszög E3 szerint egybevágó. Tehát a négyszög D-nél és B-nél fekvő szöge egyenlő. Ugyanígy kapjuk, hogy a másik két szemközti szög is egyenlő. Ezt kellett bizonyítani.

c) Tegyük fel, hogy a négyszög szemközti oldalai egyenlők. b)-ben már láttuk, hogy ekkor az ABC és CDA háromszög egybevágó. A konvex négyszög átlói az a) feladat szerint metszik egymást. Legyen a metszéspont F:

Nyilvánvaló, hogy FAD=CAD=ACB=FCB. Hasonlóan kapjuk, hogy FDA=FBC. Tehát az AFD és CFB háromszögekben egy-egy oldal és a rajta fekvő két szög egyenlő, így e két háromszög E2 szerint egybevágó. Következésképpen FC=FA és FB=FD, vagyis a metszéspont valóban felezi mindkét átlót, s ezt akartuk bizonyítani.

Az ellenkező irányú állítás abból következik, hogy ha az átlók F metszéspontja felezi mindkét átlót, akkor például az AFD és CFB háromszögekben két-két megfelelő oldal egyenlő hosszú (FA=FC és FB=FD) és a közbezárt szög egyenlő, tehát E1 szerint a két háromszög egybevágó, így AD=BC. Hasonlóan CD=AB.