A 7. feladat megoldása:

a) Tegyük fel, hogy a P pont egyenlő távol van A-tól és B-től. Bebizonyítottuk, hogy az AB szakasznak van F felezőpontja. Másrészt a 9. tétel szerint FP merőleges AB-re, tehát FP az AB szakasz felezőmerőlegese.

Ha pedig P a felezőmerőleges egy pontja, akkor az AFP és BFP háromszögekre alkalmazható (E1) állítás, tehát AP=BP.

b) A magasságra vonatkozó állítást már tudjuk. A szögfelezőre vonatkozó állítás bizonyítása a következő. Ha AB=AC, akkor nincs mit bizonyítani. Ellenkező esetben feltehetjük, hogy AB<AC, és az AC szakaszra felmásolhatjuk az AD=AB távolságot.

A BAD egyenlőszárú háromszög BAD szögének belső szögfelezője a 9. tétel szerint a BD szakaszt annak felezőpontjában metszi. Ezért az (AV’’) axióma szerint metszi a BDC háromszögnek még egy oldalát. Ez az oldal nem lehet az DC oldal, mert annak egyenesét az A pontban metszi. Tehát metszi a BC oldalt, ahogyan állítottuk.

A szögfelezőre vonatkozó állítás azonban egyszerűbben is bizonyítható:

Legyen AX az AB és AC félegyenes által bezárt konvex szög felezője. Ekkor az AX és AC félegyenesek mindegyike konvex szöget zár be az AB félegyenessel és AX kisebb szöget zár be vele, mint AC. Ebből viszont a szög definíciójánál szereplő utolsó lemma szerint következik, hogy AX egyenes elválasztja egymástól B-t és C-t, azaz metszi a BC szakaszt.