A 43. feladat MEGOLDÁSA:

Legyen az a és b szögű egyszeresen asszimtotikus háromszög a gAB háromszög és legyen a párhuzamos oldalak iránya g. Tehát az ABg szög b, a BAg szög a. Másoljuk át a b szöget az a szög mellé, vagyis legyen AZ az a félegyenes, amelyre ZAB irányított szög megegyezik az gBA irányított szöggel. Legyen AZ iránya g’. Húzzuk meg azt az e egyenest, amely egyik irányban az Ag félegyenessel másik irányban az AZ félegyenessel párhuzamos, vagyis a g és a g’ irányt „köti össze”. Az e egyenes és az Ag, Ag’(=AZ) félegyenesek egy a+b szögű kétszeresen aszimptotikus háromszöget határolnak. Az előző feladat szerint az e egyenes egy olyan P pontban metszi az AB szakaszt, amelyre igaz, hogy az AP szakasz és az Ag’ és Pg’ félegyenesek által határolt g’AP egyszeresen aszimptotikus háromszög egybevágó a gBP egyszeresen aszimptotikus háromszöggel (amelyet az e egyenes másik, P-ből induló félegyenese – a Pg félegyenes–, a Bg félegyenes és a BP szakasz határol). A gAP egyszeresen aszimptotikus háromszög a g’AP alakzatot a gg’A kétszeresen aszimptotikus háromszögre, a gBP alakzatot a gAB egyszeresen aszimptotikus háromszögre egészíti ki.

Az eljárást megfordítva az a+b szögű gAg’ kétszeresen aszimptotikus háromszöget átdarabolhatjuk az a, b szögekkel rendelkező egyszeresen aszimptotikus gAB háromszögbe: a Bg félegyenest úgy kapjuk, hogy a gAg’ szöget (amely feltevésünk szerint a+b nagyságú) a, b részekre osztó AB félegyenes és az e egyenes P metszéspontjára tükrözzük (e egyenes gAg’ kétszeresen aszimptotikus háromszögnek a g és g’ irányt „összekötő oldala”). A kapott félegyenes a középpontos szimmetria miatt párhuzamos lesz e-vel, így g irányú.

Ezzel a feladat állítását beláttuk.