A 39. feladat MEGOLDÁSA:

Egy körüljárástartó egybevágóság két tengelyes tükrözés szorzata. Legyen a két tengely t és t’. Ha e két tengely metszi egymást, akkor forgatásról van szó, amelynek van fixpontja.

Ha t és t’ ultraparalelek, akkor a közös merőlegesük menti eltolásról van szó, s ez a közös merőleges minden pontját „elmozdítja”: az elmozdulás egyezik a két ultraparalel által a közös merőlegesből kimetszett irányított szakasz kétszeresével. Az egyenestől d távolságra levő pontokat is ennek megfelelően mozdítja el, hiszen vetületüket a kép vetületébe viszi (lásd 18. feladatot). Tehát az egyenes menti eltolásnak nincs fixpontja, ha nem az identitásról van szó (ha t és t’ nem azonos).

Hasonlóan látható, hogy ha a két tengely, t és t’ párhuzamos (vagyis párhuzamos áthelyezésről van szó), és irányuk g, akkor minden pont egy olyan paracikluson mozog, amelynek tengelye g irányba mutat. Az elmozdulási ív nagysága a paraciklus t és t’ közé eső ívének kétszerese (lásd a 36. feladat megoldásának végén tett megjegyzést). Ez esetben sincs fixpont, csak ha t=t’, azaz csak ha az identitásról van szó.

Lényegesen gyorsabban is célhoz érhetünk. Tegyük fel, hogy O fixpont. Ha rajta van az egyik tengelyen, akkor az arra való tükrözés helyén hagyja, tehát a másik is. Tehát mindkét egyenesen rajta van. Két metsző egyenesre való tükrözés egymásutánja forgatás. Ha nincs rajta semelyik egyenesen, akkor tükrözzük az elsőre, kapjuk O’-t. A másikra tükrözve vissza kell kapnunk O-t, tehát ez a tengely is OO’ felezőmerőlegese, mint az első. Vagyis a két tengely azonos, szorzatuk az identitás.