A 36. feladat MEGOLDÁSA:

Legyen t és t’ a két párhuzamos egyenes, amelyre való tükrözés szorzatáról van szó. Legyen P a sík egy tetszőleges pontja, legyen P tükörképe t-re P’ és P’ tükörképe t’-re P’’. Húzzunk párhuzamos félegyenest P-n, P’-n és P’’-n keresztül t és t’ közös irányával, g-val legyenek ezek a Pg, P’g, P’’g félegyenesek.

A tükrözések szögtartó volta miatt gPP’=gP’P és gP’’P’=gP’P’’. Vagyis a közös irányra vonatkozóan P, P’ és P’’ korrespondáló pontok, azaz egy olyan paracikluson vannak, amelyek tengelyének iránya t és t’ közös iránya. Éppen ezt akartuk bizonyítani.

MEGJEGYZÉS: Messe a paraciklus a t és t’ tengelyt T-ben, illetve T’-ben. Szemléletesen nyilvánvaló, hogy a paraciklusnak PT és TP’ íve „egyenlő hosszú”, hiszen egybevágó: tükrös a t tengelyre. Ugyanígy a P’T’ és a T’P’’ íve is „egyenlő hosszú”, hiszen egybevágó: tükrös a t’ tengelyre. Ebből viszont következik, hogy a PP’’ ív éppen a TT’ ív kétszerese (irányítottan).