A 35. feladat MEGOLDÁSA:

A 23. tétel szerint ultraparalel egyeneseknek van közös merőlegese. Másrészt ha két egyenesnek van közös merőlegese, akkor a 12. tétel szerint nem metszik egymást és nem is párhuzamosak. Az első állítás tehát valóban ekvivalens azzal, hogy az egyenesek ultraparalelek.

A második állítás nyilván következik az elsőből, hiszen például a közös merőleges olyan egyenes, amelynek a-val és b-vel való váltószöge egyenlő (90°).

A második állításból viszont következik a harmadik: ha a t egyenesnek a-val és b-vel alkotott váltószöge egyenlő, akkor messe a-t A-ban, B-t b-ben és legyen P az AB szakasz felezőpontja. Ha P-re tükrözzük a-t, akkor a váltószögek egyezése és PA=PB miatt valóban b-t kapjuk és fordítva.

Ebből viszont következik a negyedik állítás: ha a és b tükrös P-re és T az a egyenes tetszőleges pontja, akkor T-nek P-re vonatkozó tükörképét T’-vel jelölve ez a T’ nyilván rajta van b-n, T, P, T’ egy egyenesen van, s a tükrösség miatt a TPT’ egyenesnek a-val és b-vel alkotott váltószöge egyenlő.

Mostmár elég azt belátni, hogy az utolsó (negyedik) állításból következik, hogy a és b ultraparalelek. Tegyük fel, hogy a-nak valamely T pontján keresztül húzható olyan egyenes, amelynek a-val és b-vel alkotott váltószöge egyenlő. Messe ez az egyenes b-t T’-ben és legyen P a TT’ szakasz felezőpontja. Ekkor a-t P-re tükrözve éppen b-t kapjuk „fordított irányítással”. Ha tehát a és b metszené egymást a TT’ egyenes egyik oldalán, akkor a metszéspont P-re vonatkozó tükörképe a másik oldalon adna egy metszéspontot, s ekkor a-nak és b-nek két metszéspontja volna, ami ellentmond az (A0) axiómának. Ha pedig a és b az egyik irányban párhuzamos volna, akkor b és a a tükrösség miatt a másik irányban is párhuzamos volna. De a 28. tételben, illetve a párhuzamosság definíciója után mondottak szerint két különböző egyenes nem lehet mindkét irányban párhuzamos. Tehát a és b ultraparalel.

Beláttuk tehát, hogy ha a két egyenes ultraparalel, akkor igaz az első állítás. Másrészt az első állításból következik a második, abból a harmadik, a harmadikból a negyedik, a negyedikből pedig következik, hogy a két egyenes ultraparalel. Ezzel beláttuk, hogy az összes állítás ekvivalens, amivel a bizonyítást befejeztük.