A 33. feladat MEGOLDÁSA:

Ag és Bg hegyesszöget zár be egymással, ebből következik, hogy az A-ból Bg egyenesre bocsátott merőleges talppontja a Bg félegyenesen van, s ugyanígy a B-ből Ag-ra bocsátott merőlegesé Ag félegyenesen van. Másrészt ez utóbbi például elválasztja egymástól A-t és a Bg félegyenest, tehát az A-ból állított merőleges talppontját is elválasztja A-tól. Ebből következik, hogy a két merőleges M metszéspontja létrejön.

Tegyük fel először, hogy m metszi például az Ag félegyenest egy C pontban. Ekkor az ABC háromszögnek M a magasságpontja, hiszen két magasságának (CM-nek és BM-nek) a metszéspontja. De akkor az AM is magasság, tehát merőleges BC-re. Másrészt merőleges Bg-ra is. De B-ből csak egy merőleges állítható AM-re, következésképp BC azonos volna Bg-val, ami lehetetlen, hiszen utóbbi párhuzamos Ag-val, tehát nem metszheti, márpedig C Ag-n van. Ez az ellentmondás mutatja, hogy m nem metszheti Ag-t – és ugyanígy Bg-t sem.

Azt kaptuk, hogy m nem metszi a „háromszög” két végtelen „oldalát”. Legyen m és AB metszéspontja T. Húzzuk meg a Tg félegyenest! Ez párhuzamos Ag-val, tehát TM=m nem mehet Tg-nak Ag felé eső oldalán, mert akkor metszené Ag-t. Másrészt Tg párhuzamos Bg-val is, ezért TM=m nem mehet Tg-nak Bg felé eső oldalán sem. Vagyis Tg=TM=m. Ezzel beláttuk, hogy m párhuzamos a két „végtelen oldallal”, vagyis g irányú.