A 30. tétel BIZONYÍTÁSA:

Legyen O a sík tetszőleges pontja, és húzzuk meg az O-ból induló párhuzamost a két félegyenessel, legyenek ezek OA és OB. A 28. tétel szerint van olyan e egyenes, amely egyik irányban OA-val, másik irányban OB-vel párhuzamos. A párhuzamosság tranzitivitása miatt ez az egyenes az egyik irányban az eredetileg adott egyik félegyenessel, a másik irányban az eredetileg adott másik félegyenessel párhuzamos.

Az egyértelműség ismét abból következik, hogy két egyenes nem lehet párhuzamos mindkét irányban.