A 19. feladat MEGOLDÁSA:

a) Válasszuk úgy B-t, hogy ne illeszkedjen u-ra, t és t’ közös merőlegesére. Legyen B t-re vonatkozó tükörképe A, t’-re vonatkozó tükörképe C. Ekkor AB felezőmerőlegese t, BC felezőmerőlegese t’, ahogyan a feladat követeli. Másrészt A, B, C valóban háromszöget alkot, vagyis nincs egy egyenesen. Ha ugyanis egy egyenesen volnának, akkor ez az egyenes t-re is, t’-re is merőleges volna, tehát azonos volna u-val, de ez ellentmond B választásának.

c) A és B tükrös t-re, másrészt u-nak t-re vonatkozó képe önmaga. A tükrözés távolságtartó, ezért A és B egyenlő távol van u-tól. Ugyanígy kapjuk, hogy B és C is egyenlő távol van u-tól, mert egymás t’-re vonatkozó tükörképei és u-nak t’-re vonatkozó tükörképe is önmaga. Ebből következik, hogy A, B, C egyenlő távol van u-tól. Másrészt t és t’ merőleges u-ra, így a rájuk való tükrözés nem cseréli meg az u által határolt félsíkokat. Tehát A, B, C valóban u-nak ugyanazon a távolságvonalán van.

b): c) szerint A és C egyenlő távol van u-tól. Legyen e két pont merőleges vetülete u-n A’ és C’. Ekkor az AA’C’C négyszögre alkalmazható a 15. feladat állítása, s így azt kapjuk, hogy A’C’ felezőmerőlegese egyben AC-nak is felezőmerőlegese. De az előbbi merőleges A’C’-re, tehát u-ra, így AC felezőmerőlegese valóban merőleges u-ra.