A 10. feladat megoldása:

a) Legyen u a sík egy egybevágósága. Legyen továbbá A és B a sík két tetszőleges pontja, amelyeket u A’-be, illetve B’-be visz. Belátjuk, hogy van két olyan tengely, t és t’, amelyre vonatkozó tükrözések összetétele A-t A’-be és B-t B’-be viszi: t-nek válasszuk AA’ felező merőlegesét. A t-re való tükrözés A-t A’-be viszi. Vigye B-t B*-ba. Ekkor A’B’=AB=A’B*, tehát A’ rajta van B’B* szakasz felezőmerőlegesén. Ha tehát t’-nek ezt a felezőmerőlegest választjuk, akkor t és t’ összetétele (amit t’t-vel jelölünk) A-t A’-be, B-t B’-be viszi. Vigye a (nem az AB egyenesen fekvő) C pontot C*-ba. A távolságtartás miatt AC=A’C*, BC=B’C*, így E3 szerint ABC, A’B’C’ és A’B’C* háromszögek egybevágók. Ez viszont azt jelenti, hogy C* vagy azonos C’-vel, vagy C’-nek AB egyenesre vett tükörképe. Előbbi esetben t és t’ összetétele (azaz u=t’t) már C-t is C’-be viszi, utóbbi esetben még A’B’-re is tükrözni kell ehhez. (Vigyázat! t’t azt jelenti, hogy először t-t hajtjuk végre, utána t’-t.)

Azt kapjuk, hogy két vagy három tengelyes tükrözéssel elérhető, hogy A képe A’, B képe B’ és C képe C’ legyen. Most belátjuk, hogy e három (nem egy egyenesen) levő pont és képe egyértelműen meghatározza az egybevágósági transzformációt, vagyis egyértelműen meghatározza minden további D pont képét.

Ehhez felhasználjuk a feladat előtt tett megjegyzést, amely szerint az egybevágóság félsíktartó. Ha A és B képe A’, illetve B’, akkor D pont képe már csak két, A’B’-re tükrös helyen lehet (ha D az AB egyenesen van, akkor ez a két hely azonos). Hogy ezek közül melyik lesz, azt eldönti, hogy AB-nek C-vel azonos vagy ellentétes oldalán van-e D: D képe ennek megfelelően lesz A’B’-nek C’-vel azonos vagy ellentétes oldalán.

b) és c) a szokott módon jön ki, egyik esetben sem használjuk a párhuzamossági axiómát, csak a közös csúcsú irányított szögek összeadását. (Megjegyezzük, hogy a közös csúcsú szögek irányításához nincs szükségünk a sík irányítására, amit a félsík definíciójánál megkerültünk.)