A 18. TÉTEL BIZONYÍTÁSA:

Állítsunk ugyanis merőlegest R-ből e-re, a merőleges talppontja legyen S. Legyen az SR félegyenes R’ pontjára SR’=d. Ekkor a PQR’S négyszögre teljesülnek a 15. feladat feltételei, tehát R’QP<90°=RQP. Ebből a szögek közötti kisebb-nagyobb reláció definíciója szerint következik, hogy QR’ elválasztja R-et és P-t, azaz QR’ metszi RP szakaszt egy belső pontban.

Tekintsük az RPS háromszöget. Ennek RP oldalát metszi QR’, tehát metszi még egy oldalát. De a 15. feladatban azt is beláttuk, hogy a PS szakasz felezőmerőlegese megegyezik QR’ felezőmerőlegesével (mert ez a PQR’S négyszög szimmetriatengelye). Minthogy a QR’ és PS egyenesnek van közös merőlegese, nem metszhetik egymást. Így QR’ az RS szakaszt metszi és ezt akartuk belátni.